Stockholmsposten

Stockholmsposten närmar sig apropå den senaste tidens händelser, med bland annat en sorts fatwa mot en redaktörskollega, arabvärlden - inte genom att publicera rondellhundar som ser ut som profeten Muhammed, utan genom att redogöra för hur man kan använda sina fingrar och tår för att multiplicera - användbart om man blir strandsatt i öknen utan miniräknare och behöver multiplicera 14 och 13. För att inte kulturutbytet mellan västerlandet och arabvärlden ska inskränkas till rondellhundar och mordhot publicerar Stockholmsposten idag en arabisk metod för att utföra multiplikation med fingrarna.

Och tårna.

Bakgrunden är att en av Stockholmspostens krogrecensenter till vardags arbetar som SFI-lärare, dvs med svenskundervisning för invandrare. En av hans elever har avslöjat den arabiska urgamla metoden för multiplikation av tal mellan fem och tio med varandra, dvs de övre av de grundläggande multiplikationstabellerna man får lära sig på lågstadiet, mer eller mindre utantill.

Stockholmspostens matematikhistoriska redaktion har på egen hand tagit metodiken två steg vidare: dels multiplikation av tal mellan tio och 20, dels det allmänna fallet. Dessutom har redaktionen bevisat det hela matematiskt/algebraiskt.

Redogörelse: Arabisk fingerräkning
Det hela går ut på att två tal mellan 5 och 10 kan multipliceras med hjälp av båda handens fingrar: 5 plus det antal fingrar man håller upp på vänster hand, v, multipliceras med 5 plus det antal fingrar man håller upp på höger hand, h. Svaret är 10 gånger det totala antalet uppsträckta fingrar, plus vänster hands liggande fingrar gånger höger hands liggande fingrar.

Ovanstående stycke kan representeras matematiskt av följande formel:

(5+v)(5+h)=10(v+h)+(5-v)(5-h)

Bevis:
(5+v)(5+h)=25+5h+5v+hv=10v+10h+25-5v-5h+vh=10(v+h)+(5-v)(5-h). QED

Exempel med v=3 och h=4, eller 8*9: tre fingrar utsträckta på vänster och fyra på höger hand är samma som åtta gånger nio, och svaret är 3+4 uppsträckta fingrar gånger 10 (70), plus två gånger en liggande fingrar, dvs 2. Sammanlagt alltså 72.

Åtta gånger nio på arabiska: (Fem + tre fingrar) * (fem + fyra fingrar)= sjuttiotvå (två liggande fingrar på vänster gånger en liggande (tummen) på höger hand).

Metoden kan även användas till multiplikation av två tal mellan 10 och 20 genom att använda både fingrar, f, och tår, t:

(10+f)(10+t)=20(f+t)+(10-f)(10-t)

Svaret fås genom att multiplicera 20 med det totala antalet upp- och utsträcka fingrar och tår, och till detta addera antalet liggande fingrar med antalet ej utsträcka tår.

Exempel med f=7 och t=9, eller 17*19: sju fingrar och nio tår. Svar: 20 gånger 16 (16=7+9), plus 3 gånger 1 = 323 (kan kontrolleras med miniräknare). Visserligen kanske det är lättare att i huvudet multiplicera 17 med 20 och sedan subtrahera med 17, men det är vi med vårt decimalt orienterade tänkesätt. Araberna hade kanske inte lika lätt för det när denna metod uppfanns (det är dock oklart om de använde tår också).


Nitton på arabiska: nio uppsträckta tår (den tionde, höger lilltå, är fastkilad bakom fortepedalen, eftersom det är motoriskt mer komplicerat att räkna med tår än med fingrar). Kan multipliceras med fingrarna i bilden ovan för att få svar på vad 17 gånger nitton är: sju plus nio uppsträckta fingrar och tår gånger 20, plus antalet liggande fingrar, tre, gånger antalet gömda tår, en. Voìla: 323.

Bevis:

(10+f)(10+t)=100+10f+10t+ft=100+20f-10f+20t-10t+ft=20(f+t)+100-10f-10t+ft=20(f+t)+(10-f)(10-t). QED

Inom parentes sagt kan 5 och 10 i ovanstående två exempel bytas ut mot vad som helst: z. Exempel, med f och t i exemplet med fingrar och tår utbytta mot x respektive y:

(z+x)(z+y)
=z2+xz+xy+yz
=2xz-xz+2yz-yz+z2+xy
=2xz+2yz-xz-yz+xy+ z2
=2z(x+y)+(z-x)(z-y)
(sätt in z=5 eller z=10 och testa!)

Mest användning har man nog dock för z=5 eller z=10.

© 2007: Stockholmsposten Matematikhistoria